算法-堆

如何手写一个堆？

1、 插入一个数

1
2
heap[ ++ size] = x;
up[size];

2、 求集合中的最小值

1
heap[1]

3、 删除最小值

1
2
3
heap[1] = heap[size];
size -- ;
down(1);

4、 删除任意一个元素

1
2
3
4
heap[k] = heap[size];
size -- ;
down(k);
up(k);

5、 修改任意一个元素

1
2
3
heap[k] = x;
down(k);
up(k);

堆是一个完全二叉树


小根堆：根节点就是最小值， 每个点都满足小于左右两个点

存储：使用一维数组来存储， 一号点是根节点，x的左儿子 2x， 右儿子 是 2x + 1


堆的两种操作

1、 down 2、 up

例题1

输入一个长度为 n 的整数数列，从小到大输出前 m 小的数。

输入格式

第一行包含整数 n 和 m。

第二行包含 n 个整数，表示整数数列。

输出格式

共一行，包含 m 个整数，表示整数数列中前 m 小的数。

数据范围

1 ≤ m ≤ n ≤ 10^5
1 ≤ 数列中元素 ≤ 10^9

输入样例：

1
2
5 3
4 5 1 3 2

输出样例：

1
1 2 3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
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#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N  = 100010;

int n, m;
int h[N], cnt;

void  down(int u)
{
    int t = u;
    if (u * 2 <= cnt && h[u * 2] < h[t]) t = u * 2;
    if (u * 2 + 1 <= cnt && h[u * 2 + 1] < h[t]) t = u * 2 + 1;
    if (u != t)
    {
        swap(h[u], h[t]);
        down(t);
    }
}
//  虽然这道题不需要up,这里也给出up操作
void up(int u)
{
    while (u / 2 && h[u / 2] > h[u])
    {
        swap(h[u / 2], h[u]);
        u /= 2;
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d", &h[i]);
    cnt = n;
    for (int i = n / 2; i; i -- ) down(i);
    
    while (m -- )
    {
        printf("%d ", h[1]);
        h[1] = h[cnt -- ];
        down(1);
    }
    
    return 0;
}

例题2

维护一个集合，初始时集合为空，支持如下几种操作：

  1. I x，插入一个数 xx；
  2. PM，输出当前集合中的最小值；
  3. DM，删除当前集合中的最小值（数据保证此时的最小值唯一）；
  4. D k，删除第 kk 个插入的数；
  5. C k x，修改第 k 个插入的数，将其变为 x；

现在要进行 N 次操作，对于所有第 2 个操作，输出当前集合的最小值。

输入格式

第一行包含整数 NN。

接下来 NN 行，每行包含一个操作指令，操作指令为 I x，PM，DM，D k 或 C k x 中的一种。

输出格式

对于每个输出指令 PM，输出一个结果，表示当前集合中的最小值。

每个结果占一行。

数据范围

1 ≤ N ≤ 10^5
−10^9 ≤ x ≤ 10^9
数据保证合法。

输入样例：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
8
I -10
PM
I -10
D 1
C 2 8
I 6
PM
DM

输出样例：

1
2
-10
6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
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#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 100010;

// ph[k] 表示第 k 个插入的元素在堆数组中的下标
// hp[k] 表示堆数组 h 中第 k 个位置的元素是第几个插入的。

int h[N], ph[N], hp[N], cnt;

// 这里传入的是下标
void heap_swap(int a, int b)
{
    swap(ph[hp[a]], ph[hp[b]]);
    swap[hp[a], hp[b]];
    swap(h[a], h[b]);
}

void down(int u)
{
    int t = u;
    if (u * 2 <= cnt && h[u * 2] < h[t]) t = u * 2;
    if (u * 2 + 1 <= cnt && h[u * 2 + 1] < h[t]) t = u * 2 + 1;
    if (u != t)
    {
        // 交换下标即可
        heap_swap(u, t);
        down(t);
    }
}

void up(int u)
{
    while (u / 2 && h[u] < h[u / 2])
    {
        heap_swap(u, u / 2);
         u /= 2;
    }
}

int main()
{
    int n, m = 0;
    scanf("%d", &n);
    while (n -- )
    {
        char op[5];
        int k, x;
        scanf("%s", op);
        if (!strcmp(op, "I"))
        {
            scanf("%d", &x);
            cnt ++ ;
            m ++ ;
            ph[m] = cnt, hp[cnt] = m;
            h[cnt] = x;
            up(cnt);
        }
        else if (!strcmp(op, "PM")) printf("%d\n", h[1]);
        else if (!strcmp(op, "DM"))
        {
            heap_swap(1, cnt);
            cnt -- ;
            down(1);
        }
        else if(!strcmp(op, "D"))
        {
            scanf("%d", &k);
            k = ph[k];
            heap_swap(k, cnt);
            cnt -- ;
            up(k);
            down(k);
        }
        else
        {
            scanf("%d%d", &k, &x);
            k = ph[k];
            h[k] = x;
            up(k);
            down(k);
        }
    }
    
    return 0;
}